1.
Se considera el sistema lineal
\[
S:\left\{\begin{aligned}
x-y+z+w &=2 \\
3x+y+z+w &=6 \\
5x-3y-3z+w &=0
\end{aligned}\right.
\]
y los vectores $\vec{v}_{1}=(0,0,0,0)$, $\vec{v}_{2}=(1,1,1,1)$, $\vec{v}_{3}=(-2,2,-3,7)$, $\vec{v}_{4}=(0,2,2,2)$. Decidir cuáles de las cuaternas dadas son soluciones de $S$.
Para ver si cada uno de estos vectores es solución de $S$, tenemos que chequear que cumplan
todas las ecuaciones de $S$.
👉 $\vec{v}_{1}=(0,0,0,0)$
Reemplazamos en la primera ecuación:
$x-y+z+w =2$
$0 - 0 + 0 + 2 = 2$ ❌
Listo, ya no cumple la primera ecuación, por lo que $v_1$ no puede ser solución de $S$
👉 $\vec{v}_{2}=(1,1,1,1)$
Reemplazamos en la primera ecuación:
$x-y+z+w =2$
$1 - 1 + 1 + 1 = 2$
$2 = 2$ ✔️
Vamos con la segunda:
$3x+y+z+w = 6$
$3 \cdot 1 + 1 + 1 + 1 = 6$
$6 = 6$ ✔️
Vamos con la tercera:
$5x-3y-3z+w =0$
$5 \cdot 1 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 1 = 0$
$0 = 0$ ✔️
Como cumple las tres ecuaciones de $S$, $v_2$ si es solución del sistema.
👉 $\vec{v}_{3}=(-2,2,-3,7)$
Reemplazamos en la primera ecuación:
$x-y+z+w =2$
$-2 - 2 - 3 + 7 = 2$
$0 = 2$ ❌
Listo, ya no cumple la primera ecuación, por lo que $v_3$ no puede ser solución de $S$.
👉 $\vec{v}_{4}=(0,2,2,2)$
Reemplazamos en la primera ecuación:
$x-y+z+w =2$
$0 - 2 + 2 + 2 = 2$
$2 = 2$ ✔️
Vamos con la segunda:
$3x+y+z+w = 6$
$3 \cdot 0 + 2 + 2 + 2 = 6$
$6 = 6$ ✔️
Vamos con la tercera:
$5x-3y-3z+w =0$
$5 \cdot 0 - 3 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 2 = 0$
$-10 = 0$ ❌
Ayyyy casi, pero como no cumple con una de las ecuaciones, $v_4$ ya no puede ser solución de $S$.
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